Álgebra Linear
Código
0104078Créditos ECTS
6Objetivos
Domínio do cálculo matricial e de métodos para resolver sistemas de equações lineares. Domínio de espaços vetoriais e de transformações lineares. Estudar formas canónicas de matrizes, valores e vetores próprios e valores singulares. Estudar exemplos de aplicações.
Programa
Matrizes e sistemas de equações Lineares
- Operações com matrizes e suas propriedades.
- Sistemas de m equações lineares a n incógnitas.
- Método de eliminação de Gauss.
- Característica de uma matriz.
- Inversa de uma matriz.
- Resolução de sistemas de m equações lineares a n incógnitas.
Determinantes
- Determinante de uma matriz: definição, operações e propriedades.
- Fórmula de Laplace.
- Inversão de matrizes.
- Regra de Cramer.
Espaços Lineares
- Definição e exemplos de espaços lineares.
- Subespaços lineares.
- Conjunto gerador de um subespaço.
- Espaço das colunas e das linhas de uma matriz.
- Núcleo de uma matriz.
- Soma e Intersecção de subespaços.
- Independência linear.
- Base e dimensão de um espaço linear.
- Coordenadas de um vector em relação a uma base.
- Matriz de mudança de base.
Transformações Lineares
- Definição e exemplos de transformações lineares.
- Núcleo e contradomínio de uma transformação linear e respectivas dimensões.
- Operações com transformações lineares.
- Inversas de transformações lineares.
- Consequências da injetividade e/ou sobrejetividade de uma transformação linear.
Valores Próprios e vectores próprios. Diagonalização.
- Polinómio característico.
- Valores próprios e vetores próprios.
- Multiplicidade algébrica e geométrica.
- Matrizes diagonalizáveis.
- Forma canónica de Jordan.
Aplicações:
- sistemas de equações diferenciais ordinárias lineares com coeficientes constantes;
- estabilidade de sistemas dinâmicos lineares;
- cadeias de Markov;
- algoritmo de PageRank.
Produto Interno. Ortogonalização.
- Definição de produto interno. Exemplos.
- Norma, projeção ortogonal e ângulo entre dois vetores. Desigualdade de CauchySchwarz.
- Bases ortogonais e bases ortonormadas. Método de ortogonalização de Gram-Schmidt.
- Complementos ortogonais e projeções ortogonais em subespaços.
Tópicos Adicionais
- Produto externo e produto misto.
- Geometria analítica no espaço.
- Teorema espetral.
- Transformações ortogonais, unitárias, hermitianas.
- Decomposição em valores singulares de uma transformação entre espaços euclidianos.
- Classificação das formas quadráticas reais.
- Método dos quadrados mínimos.
Métodos de Ensino
Os conceitos teóricos são inicialmente apresentados e explicados pelo docente, que orienta os alunos na compreensão dos princípios fundamentais de cada tema. Após esta exposição, os estudantes têm a oportunidade de aprofundar e consolidar os conteúdos através da resolução de diversas tarefas incluídas nas Fichas de Trabalho. Estas fichas são cuidadosamente elaboradas para promover a aplicação prática dos conhecimentos adquiridos, permitindo aos alunos explorar diferentes tipos de exercícios, reforçar aprendizagens e desenvolver autonomia no estudo. Desta forma, o processo de ensino-aprendizagem torna-se mais completo, articulando momentos de explicação teórica com atividades práticas que incentivam o pensamento crítico e a participação ativa dos alunos.
Bibliografia
• Luís T. Magalhães, Álgebra Linear como Introdução à Matemática Aplicada, 9ª edição, Texto Editora, 2001.
• Giraldes, Emília e outros, Álgebra Linear e Geometria Analítica, McGraw-Hill, 1995.
• Agudo, F. Dias, Introdução à Álgebra Linear e Geometria Analítica, Escolar Editora, 1992.
• Gilbert Strang, Linear Algebra and its Applications, 3rd edition, Thomson Learning, 1988.
• Steven J. Leon, Linear Algebra with Applications, 8th edition, Pearson, 2009.
• Bernard Kolman, Introductory Linear Algebra with Applications, Prentice Hall, 1996.
• Howard Anton and Robert C. Busby, Contemporary Linear Algebra, John Wiley & Sons, Inc., 2002.
• António Monteiro e Gonçalo Pinto, Álgebra Linear e Geometria Analítica, McGraw-Hill, 1997.
• Seymour Lipschutz, Linear Algebra, Schaum´s Outline Series, 4th edition, McGraw-Hill, 2009.
• Luís Barreira e Claudia Valls, exercícios de álgebra linear, IST Press, 2011.
• D. Lay, S. Lay, and J. McDonald, Linear Algebra and its applications, 2016, (5th edition), Pearson Education.
• J. Hefferon, Linear Algebra, 2017, (3rd edition), Saint Michael's College.
• G. Strang, Introduction to Linear Algebra, 2016, (5th edition), WellesleyCambridge Press.