Cálculo Diferencial e Integral II

Objetivos

Domínio do cálculo diferencial de funções de várias variáveis reais com valores escalares e vetoriais e de integrais múltiplos e de linha, incluindo teoremas fundamentais do cálculo para integrais de linha e integrais duplos, e aplicações geométricas e físicas.

Programa

Capítulo 1- Funções vetoriais de m variáveis reais

1.1. Noções básicas topólogicas em Rn. Sucessões em Rn.

1.2. Campos escalares e vetoriais. Limite e continuidade. Diferenciabilidade e gradiente.

1.3. Funcões Ck. Lema de Schwarz. Extremos e pontos de sela de campos escalares.

1.4. Teorema de Weierstrass. Formula de Taylor. Matriz hessiana. Multiplicadores de Lagrange.

1.5. Teoremas da função inversa e da da função implícita. Aplicações.

 

Capítulo 2- Integrais Múltiplos

2.1. Teorema de Fubini.

2.2. Teorema da mudança de variáveis de integração.

2.3. Aplicações ao cálculo de grandezas físicas.

 

Capítulo 3- Integrais de Linha

3.1. Curvas, caminhos e integrais de linha.

3.2. Campos gradientes e Campos Fechados.

3.3. Teorema fundamental do Calculo para integrais de linha.

3.4. Teorema de Green e aplicações.

3.5. Campos vetoriais gradientes de campos escalares.

Métodos de Ensino

Os conceitos teóricos são inicialmente apresentados e explicados pelo docente, que orienta os alunos na compreensão dos princípios fundamentais de cada tema. Após esta exposição, os estudantes têm a oportunidade de aprofundar e consolidar os conteúdos através da resolução de diversas tarefas incluídas nas Fichas de Trabalho. Estas fichas são cuidadosamente elaboradas para promover a aplicação prática dos conhecimentos adquiridos, permitindo aos alunos explorar diferentes tipos de exercícios, reforçar aprendizagens e desenvolver autonomia no estudo. Desta forma, o processo de ensino-aprendizagem torna-se mais completo, articulando momentos de explicação teórica com atividades práticas que incentivam o pensamento crítico e a participação ativa dos alunos.

Bibliografia

* Vector Calculus, Marsden and Tromba, 2012, 6th ed, Freeman;
* Calculus II, Apostol, 2016, 2nd ed, Wiley;
* Functions of Several Variables, Fleming, 1977, 2nd ed, Springer;
* Cálculo Diferencial e Integral em ℝ^n,, Gabriel Pires, 2016, 3ª ed, IST Press.;
* Integrais Múltiplos, Luís T. Magalhães, 1996, 3ª ed, Texto Editora;
* Exercícios de Cálculo Integral em ℝ^n, Gabriel Pires, 2018, 2ª ed, IST Press;
* Exercícios de Análise Matemática I e II, DM-IST, 2003, Departamento de Matemática do IST.

Método de Avaliação