Cálculo Diferencial e Integral III

Objetivos

Domínio de:
– Resolução de equações diferenciais ordinárias elementares; resolução de equações e sistemas de equações diferenciais lineares.
– Propriedades de existência, unicidade e dependência contínua de soluções de equações diferenciais ordinárias.
– Teoremas de Gauss e de Stokes, propriedades gerais de divergência e rotacional de campos vectoriais, e aplicações.
– Resolução de equações diferenciais parciais de 1ª e 2ª ordem lineares elementares.
– Propriedades gerais e convergência de séries de Fourier, transformação de Fourier e aplicações.

Programa

1. Conceitos básicos:  Conjunto dos números complexos; Funções especiais; Decomposição de funções racionais; Exponencial de matrizes; convolução de funções.

2. Série de Fourier: Funções periódicas e continuidade; Funções ortogonais; Série e transformada de Fourier.

3. Transformada de Laplace: Definição, teoremas e propriedades.

4. Equações e Sistemas: Equações diferenciais ordinárias; Fator de integração; Fórmula de variação das constantes; Teoria qualitativa; Sistemas lineares de equações diferenciais ordinárias; Aplicações da Transformada de Laplace  

5. Cálculo vetorial: Superfícies em R3; Integrais de superfície de campos escalares e de campos vetoriais; Teoremas de Gauss e de Stokes; Divergência e rotacional de campos vetoriais; Obtenção das equações diferenciais de continuidade, onda, calor, Laplace e Poisson.

6. Equações Diferenciais Parciais:  Equações diferenciais parciais lineares; Equação da onda, do calor, de Laplace e equação de Poisson; Método da separação de variáveis. Aplicações da série e transformada de Fourier.

Métodos de Ensino

O conteúdo da disciplina é lecionado em aulas teórico-práticas, desenvolvendo-se alguns exemplos práticos de aplicação, sempre que possível, nos vários ramos da engenharia,.

Nas aulas práticas são resolvidos exercícios presentes nos livros de apoio à disciplina. As fichas de exercícios na disciplina são apenas introduzidas como reforço dos exercícios já presentes na bibliografia da disciplina, ou em apoio às aulas práticas.

No final de cada aula é lançado o sumário pelo docente, que contém sugestões de leitura específicas à matéria lecionada em ambiente de aula, bem como a localização na bibliografia dos exercícios sugeridos.

Bibliografia

• Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems: Boyce and Di Prima, 2013 10th ed Wiley
• Vector Calculus: Marsden and Tromba 2012 6th ed Freeman
• Equações Diferenciais via Análise Real e Complexa.: Luís Barreira e Claudia Valls 2021 Coleção Ensino da Ciência e da Tecnologia 74, IST Press.
• Introdução à Análise Complexa, Séries de Fourier e Equações Diferenciais: Pedro Girão 2018 2ª ed. IST Press
• Métodos de Resolução de Equações Diferenciais e Análise de Fourier com Aplicações: Luís Magalhães 2013 DM-IST
• Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais, .: , : Djairo Figueiredo 2012 4ª ed IMPA
• Cálculo Diferencial e Integral em R^n: Gabriel Pires 2016 3ª ed., IST Press
• Integrais em Variedades: Luís T. Magalhães 1993 2ª ed., Texto Editora
• Exercícios de Equações Diferenciais via Análise Real e Complexa: Luís Barreira e Claudia Valls 2021 Coleção Apoio ao Ensino, IST Press.
• Exercícios de Cálculo Integral em R^n: Gabriel Pires 2018 2ª ed., IST Press
• Problemas de equações diferenciais ordinárias. Krasnov, M et al, Macgraw-Hill

Método de Avaliação